Question

3) В треугольник со сторонами 9 см, 12 см, 15 см вписана окружность.Сделайте чертеж и найдите отрезки, на которые точки касания сторон со вписанной окружностью разбивают стороны треугольника
4) В треугольник АВС с углом при вершине В в 70 градусов вписана окружность с центром О. Сделайте чертеж и найдите, чему равна величина угла АОС
5) Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается катетов АС и ВС в точках Р и Q соответственно. Известно, что АР=4см, ВQ=6 см. Чему равняется АВ?

Answer 1

3) AD+DB=9 см. ВЕ+ЕС=12 см, АF+FC=15см. (дано).
AD=AF, DB=BE, EC=FC как касательные к окружности из одной точки.
AD+EC=AC=15 см.
2DB  + AC = AB+BC = 21 см.
2DB = 21-15 = 6 см.  Тогда
AD= AB-DB = 9-3=6см. DB=3 см, BE=3 см,
ЕС=ВС-ВЕ=12-3=9 см, AF=AD=6см, FС=EC=9см.
Ответ: AD=6см, DB=3 см, BE=3см, ЕС=9см, CF=9см FA=6см.

4). В треугольнике АВС <A+<C= 180° - 70° = 110°.
АО - биссектриса угла А.
СО - биссектриса угла С (так как точка О - центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.  Тогда
(1/2)*(<A+<C) = 55°.
В треугольнике АОС
<AOC=180°-(1/2)*(<A+<C) = 180° - 55° = 125°.
Ответ: <AOC=125°.

5) AF=AP, BF=BQ как касательные к окружности из одной точки.  Тогда
AB=AF+FB = AP+BQ = 10см.
Ответ: АВ=10см.