Question

Решите неравенство
10 класс

Answer 1

Начнём с самого простого ,с нашего ОДЗ:
$64x\ \textgreater \ 0\\log_4(x)-3 \neq 0\\x\ \textgreater \ 0\\log_4(64x) \neq 0\\x^4\ \textgreater \ 0\\log_4^2(x) \neq 0\\log_4^2(x)-9 \neq 0\\.....................................................................\\x\ \textgreater \ 0\\x \neq 64\\x \neq \frac{1}{64} \\x∈R\{0} \\x \neq 64\\x \neq \frac{1}{64}$
На прямой отмечаем точки и ищем интервалы ,получаем:
x∈($0; \frac{1}{64}$)∪($\frac{1}{64} ;64$)∪(64;+∞)
Теперь мы вспомним свойства логарифмов ,аргумент 64x можно представить в виде суммы двух логарифмов ,так же вспомним 
$4^1=4\\4^2=16\\4^3=64$
Это нам пригодиться .
Так же вспомним одну формулу :$log_a(b^x)=xlog_a(b)$
Всё вспомнили ,можем приступать.
$\frac{log_4(64)+log_4(x)}{log_4(x)-3} + \frac{log_4(x)-3}{log_4(64)+log_4(x)} \geq \frac{4log_4(x)+16}{log_4^2(x)-9} \\ \frac{3+log_4(x)}{log_4(x)-3} + \frac{log_4(x)-3}{3+log_4(x)} \geq \frac{4log_4(x)+16}{log_4^2(x)-9}$
Упростив данное неравенство ,мы видим ,что можно сделать замену ,так сделаем ,чтобы ещё больше упростить.
$log_4(x)=t\\ \frac{3+t}{t-3} + \frac{t-3}{3+t} \geq \frac{4x+16}{t^2-9} \\t^2-9=(t-3)(t+3)\\ \frac{(3+t)^2+(t-3)^2-(4t+16)}{(t-3)(t+3)} \geq 0\\ \frac{9+6t+t^2+t^2-6t+9-4t-16}{(t-3)(3+t)} \geq 0\\ \frac{2+2t^2-4t}{(t-3)(t+3)} \geq 0$
Вот мы получили простое неравенство ,но давайте мы не будем рассматривать случаи ,так как это не рационально.Просто применим метод интервалов -числитель равен 0,знаменатель нет .Почему именно равно ,когда мы решаем неравенство? В этом и заключается решение ,чтобы разложить наш числитель и найти корни ,для того ,чтобы отметить их на прямой ,а корни знаменателя просто выколем.
$2+2t^2-4t=0\\2t^2-4t+2=0\\t^2-2x+1=0\\(x-1)^2=0\\x=1$
Нашли корень числителя ,теперь нужно просто отметить интервалы на прямой и всё.Получаем:
t∈(-∞;-3)∪(3;+∞)∪{1}
Теперь мы просто заменим "t" 
Но я хочу рассмотреть каждый интервал отдельно ,но не забываю ,что когда я рассматриваю интервалы отдельно ,мне нужно потом найти объединение полученных результатах 
$log_4(x)\ \textless \ -3\\x<(4)^{-3}\\x\ \textless \ \frac{1}{64} \\log_4(x)\ \textgreater \ 3\\x\ \textgreater \ 64\\log_4(x)=1\\x=4$
Теперь находим объединение и получаем
x∈(-∞;$\frac{1}{64}$)∪(64;+∞)∪{4}
А теперь остаётся самое лёгкое ,найти объединение с ОДЗ и получим наш ответ 
x∈(0;$\frac{1}{64}$)∪(64;+∞)∪{4}