Question

Помогите вычислить интеграл

Answer 1

Функция не существует в точке х=0.
$\displaystyle \int\limits^4_{-1}\frac{5dx}{x^2}=5(\int\limits^4_{0}\frac{dx}{x^2}+\int\limits^0_{-1}\frac{dx}{x^2})=5( \lim_{b \to 0+0} (-\frac{1}{x}|^4_b)+ \lim_{b \to 0-0} (-\frac{1}{x}|^b_{-1}))=\\=5(-\frac{1}{4}+\infty+\infty-1)=+\infty$
Интеграл расходится.

Answer 2

Найти интеграл
$\int\limits^4_{-1}{ \frac{5}{x^2}} \, dx$

Решение
Функция 1/x^2 и меет разрыв второго рода в точке х = 0.
Поскольку функция имеет разрыв внутри интервала [-1;4] в точке х=0 то искомый интеграл надо разбить на сумму интегралов с пределами интегрирования (-1;0) и (0;4)
$\int\limits^4_{-1}{ \frac{5}{x^2}} \, dx=\int\limits^0_{-1}{ \frac{5}{x^2}} \, dx+\int\limits^4_{0}{ \frac{5}{x^2}} \, dx$
Определим данные интегралы по отдельности
$\int\limits^0_{-1}{ \frac{5}{x^2}} \, dx=lim_{a-\ \textgreater \ 0-0}(\int\limits^a_{-1}{ \frac{5}{x^2}}) \, dx)=lim_{a-\ \textgreater \ 0-0}( -\frac{5}{x} \left[\begin{array}{cc}a\\-1\end{array}\right] )=$$lim_{a-\ \textgreater \ 0-0}( -\frac{5}{a}+ \frac{5}{-1} )=\infty$
Первый несобственный интеграл расходится
Найдем второй интеграл
$\int\limits^4_{0}{ \frac{5}{x^2}} \, dx=lim_{a-\ \textgreater \ 0+0}(\int\limits^4_{a}{ \frac{5}{x^2}}) \, dx)=lim_{a-\ \textgreater \ 0+0}( -\frac{5}{x} \left[\begin{array}{cc}4\\a\end{array}\right] )=$$lim_{a-\ \textgreater \ 0+0}( -\frac{5}{4}+ \frac{5}{a} )=\infty$
Второй несобственный интеграл тоже расходится.

Поэтому данный определенный интеграл определить нельзя(равен бесконечности)
$\int\limits^4_{-1}{ \frac{5}{x^2}} \, dx=\int\limits^0_{-1}{ \frac{5}{x^2}} \, dx+\int\limits^4_{0}{ \frac{5}{x^2}} \, dx=\infty+\infty=\infty$
Ниже во вложении представлен график функции y = 5/x². На графике наглядно видна точка разрыва функции.