Question

Вокруг окружности радиуса 1 описан параллелограмм, одна из диагоналей которого равна 2√2 Найдите площадь этого параллелограмма

Answer 1

Как известно, если в 4-угольник ABCD можно вписать окружность, то

AB+CD=AD+BC.

Но поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, AB=CD; AD=BC, то 2AB=2AD AB=AD, то есть этот параллелограмм является ромбом. 

Далее, очевидно, что высота ромба равна удвоенному радиусу окружности, то есть 2. Рассмотрев прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ, равная 2√2, а одним из катетов - высота, видим, что этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный (скажем, это следует из того, что отношения катета к гипотенузе равно 1/√2=√2/2, откуда следует, что острые углы треугольника равны 45°). Отсюда угол между диагональю и стороной равен 45°, а поскольку диагональ ромба делит угол пополам, углы ромба равны 90°, то есть это квадрат. Диагонали квадрата равны, а его площадь  (как площадь любого ромба) может быть вычислена по формуле "половина произведения диагоналей". Поэтому площадь равна (2√2)²/2=4.

Ответ: 4

Answer 2

Решение в приложении: