Question

Срочно. 3 номера всего нужно. Любых

Answer 1

$2)\; \; \int \frac{3x+2}{x^2+2x+10}dx=\int \frac{3x+2}{(x+1)^2+9}dx=[\, t=x+1\; ,\; dt=dx\; ,\; x=t-1]=\\\\=\int \frac{3t-1}{t^2+9}dt= \frac{3}{2} \int \frac{2t\, dt}{t^2+9}-\int \frac{dt}{t^2+9}=\frac{3}{2}\cdot ln|t^2+9|-\frac{1}{3}\cdot arctg\frac{t}{3}+C=\\\\= \frac{3}{2}\cdot ln|x^2+2x+10|-\frac{1}{3}\cdot arctg\frac{x+1}{3}+C$

$3)\; \; \int cos^2x\cdot sin^2x\, dx=\int (sinx\cdot cosx)^2dx=\int (\frac{1}{2}\cdot sin2x)^2dx=\\\\=\frac{1}{4}\int \frac{1-cos4x}{2}dx=\frac{1}{8}\int (1-cos4x)dx=\frac{1}{8}\cdot (x-\frac{1}{4}sin4x)+C$

$5)\; \; \int ln(1+x^2)dx=[\, u=ln(1+x^2),\; du=\frac{2x\, dx}{1+x^2},\; dv=dx,\; v=x]=\\\\=x\cdot ln|1+x^2)-2\int \frac{x^2\, dx}{x^2+1}=x\cdot ln(1+x^2)-2\int \frac{(x^2+1)-1}{x^2+1}dx=\\\\=x\cdot ln(1+x^2)-2\int (1-\frac{1}{x^2+1})dx=\\\\=x\cdot ln(1+x^2)-2\cdot (x-arctgx)+C$