Question

Решить с объяснением

Answer 1

1) ОДЗ: $x \geq 0.$ Подстановкой в неравенство убеждаемся, что x=0 решением не является. Пусть x>0. Поделим неравенство на $\sqrt{x}:$

$\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ \textless \ 4x\sqrt{x}+\sqrt{3}.$

Замечаем, что левая часть убывает, а правая возрастает. Поэтому нужно угадать x, при котором неравенство превращается в равенство, и в ответ написать все, что лежит правее. Процесс угадывания не очень прост, но приводит к $x=\frac{1}{2}.$

Ответ: $\left(\frac{1}{2};+\infty\right)$

2) ОДЗ: $x\not= 0; 24+2x-x^2 \geq 0\Rightarrow x^2-2x-24 \leq 0; (x-6)(x+4) \leq 0;$

$x\in [-4;0)\cup (0;6]$

1-й случай. $x\in[-4;0)\Rightarrow$ левая часть меньше либо равна 0 и поэтому неравенство выполнено.

2-й случай. $x\in (0;6]$; занесем x, стоящий в знаменателе, под знак корня:

$\sqrt{\frac{24}{x^2}+\frac{2}{x}-1}\ \textless \ 1.$

Левая часть убывает, правая постоянна. Поэтому достаточно выяснить, когда левая и правая части совпадают, и взять все, что стоит справа. Если угадать x=4 представляется очень сложным, можно просто решить уравнение (но при этом задача теряет свой шарм)

$24+2x-x^2=x^2; x^2-x-12=0; (x-4)(x+3)=0;$

положительный корень x=4.

Ответ: $[-4;0)\cup (4;6]$ 

Answer 2

Фотофотофотофотофото