Question

Помогите, пожалуйста, решить ряды

afef1a484b7421338570a4c52c580ad3.pdf

Answer 1

Исследовать ряд на сходимость
$\sum_{1 }^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}$

Решение
Необходимый признак сходимости ряда
$lim_{n \to \infty}u_n=0$
В нашем ряде член ряда равен
$u_n= \frac{2n-1}{2^n}$
$lim_{n \to \infty}\frac{2n-1}{2^n}= \left | \frac{\infty }{\infty } \right |=lim_{n \to \infty}\frac{(2n-1)'}{(2^n)'}=lim_{n \to \infty}\frac{2}{2^nln2}=0$
Необходимый признак сходимости ряда выполнен.
Исследуем сходимость ряда по признаку Даламбера.
Ряд сходится если
$lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\ \textless \ 1$
Член ряда $u_{n+1}$ равен
$u_{n+1}= \frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}= \frac{2n+1}{2^{n+1}}$
Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера
$lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)2^n}{(2n-1)2^{n+1}}=lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{4n-2}=lim_{n \to \infty} \frac{2+ \frac{1}{n} }{4- \frac{2}{n} }=$
$= \frac{1}{2}\ \textless \ 1$

Следовательно ряд сходиться.

Определить область сходимости степенного ряда
$\sum_{1 }^{\infty} 3^n(x-2)^n$
Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда
$\sum_{1 }^{\infty} u_n$
достаточно, чтобы
$lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\ \textless \ 1$
Так как
$lim_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}|=lim_{n \to \infty} |\frac{3^{n+1}(x-2)^{n+1}}{3^n(x-2)^n}|=3|x-2|$
то ряд будет абсолютно сходиться при значениях х, удовлетворяющих неравенству
                                       3|x - 2| < 1
                                         |x - 2| < 1/3
                                 -1/3 < x - 2 < 1/3
                                 -1/3 + 2 < х < 1/3 + 2
                                        5/3 < x < 7/3
Cледовательно, при 5/3 < x < 7/3  исследуемый степенной ряд будет абсолютно сходиться.
Исследуем поведение ряда на концах интервала, то есть при x = 5/3 и x = 7/3.
При  x = 5/3 получаем числовой ряд
$\sum_{1 }^{\infty} 3^n( \frac{5}{3} -2)^n=\sum_{1 }^{\infty} 3^n( -\frac{1}{3} )^n=\sum_{1 }^{\infty} (-1)^n$
Частичные суммыSn этого ряда равны −1при нечетных n и 0 при четных n. Последователь-ность −1, 0,−1, 0, −1, 0 ,...частичных сумм не сходится, следовательно ряд расходится.
Граница интервала  х =5/3 не принадлежит области сходимости, так как ряд расходиться.

При  x = 7/3 получаем числовой ряд
$\sum_{1 }^{\infty} 3^n( \frac{7}{3} -2)^n=\sum_{1 }^{\infty} 3^n( \frac{1}{3} )^n=\sum_{1 }^{\infty} 1^n$
Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно знакоположительный ряд расходиться.
Граница интервала  х =7/3 не принадлежит области сходимости, так как ряд расходиться.
Итак, областью сходимости степенного ряда  является интервал
х∈(5/3;7/3)

Ответ: (5/3;7/3)