Question

f(x)=(x-2)^2*√x
Найти производную функции, точки экстремума и промежутки убывания и возрастания.

Answer 1

$f(x)=(x-2)^2 \sqrt{x} \\f'(x)=((x-2)^2)' \sqrt{x} +(x-2)^2( \sqrt{x} )'$
Мы воспользовались формулой 
$f(x)=g(x)h(x)\\f'(x)=(g(x))'h(x)+g(x)(h(x))'$
$f'(x)=((x-2)^2) \sqrt{x} +(x-2)^2( \sqrt{x} )'\\f'(x)=2(x-2) \sqrt{x} +(x-2)^2* \frac{1}{2 \sqrt{x} }\\f'(x)=0\\2(x-2) \sqrt{x} +(x-2)^2* \frac{1}{2\sqrt{x} } =0\\(x-2)(2\sqrt{x} + \frac{x-2}{2\sqrt{x} })=0\\(x-2)* \frac{5x-2}{2\sqrt{x} } =0\\x-2=0\\x=2\\ \frac{5x-2}{2\sqrt{x} }=0 \\5x-2=0\\x= \frac{2}{5}$
Оба корня подходят ,так как наше ОДЗ было x>0 ,так как на 0 делить нельзя 
Нашли экстремумы ,теперь max и min
Нужно на прямой определить знаки ,для этого мы сначала подставим 3
$2(3-2)\sqrt{3}+(3-2)^2* \frac{1}{2\sqrt{3} } =2\sqrt{3} + \frac{1}{2\sqrt{3} } \ \textgreater \ 0$
Следовательно первый знак с право на лево будет "+"
теперь подставим 1
$2(1-2)\sqrt{1} +(1-2)^2* \frac{1}{2\sqrt{1} } =-2+ \frac{1}{2} =-1,5$
Следовательно на интервале от 2/5 до 2 будет "-"
Подставляем 0,1
$2(0,1-2)(x-2)^2 \sqrt{0,1}+(0,1-2)^2* \frac{1}{2(x-2)^2 \sqrt{0,1}} =-3,8(x-2)^2 \sqrt{0,1}\\+( \frac{19}{10} )^2* \frac{1}{ \frac{2}{(x-2)^2 \sqrt{10}} } =- \frac{19}{5\sqrt{10} }+ \frac{361\sqrt{10} }{200} = \frac{57\sqrt{10} }{40} \ \textgreater \ 0$
Знак "+" поставим на интервале от -∞ до 0,4
И получаем ,что точка max находится в 0,4
Точка min находится в 2