Question

Решите,пожалуйста,интеграл

Answer 1

$\int \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}+1}dx=[\, x=t^6\, ,\, t=\sqrt[6]{x}\, ,dx=6t^5\, dt\, ]=\\\\=\int \frac{t^3-1}{t^2+1}\cdot 6t^5\, dt=6\int \frac{t^8-t^5}{t^2+1}dt=\\\\=6\int (t^6-t^4-t^3+t^2+t-1+\frac{1-t}{t^2+1})dt=\\\\=6(\frac{t^7}{7}-\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-t)+6\int \frac{dt}{t^2+1}-6\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}=\\\\=6(\frac{t^7}{7}-\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-t)+6\cdot arctgt-3\cdot ln|t^2+1|+C,\\\\ gde\; \; t=\sqrt[6]{x}$