Доклад по теме многогранники
Ответы
Правильные многогранники.
Правильный многогранник, или так же известный как «Платоново тело» - это вид многогранника, гранями которого являются правильнее многоугольники (треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и т д ) В зависимости от конкретного вида многоугольника, который является гранью многогранника, многогранники носят свои наименования:
1. Тетраэдр – гранью является правильный треугольник, количество вершин – 4, количество ребер – 6, количество граней – 4.
2. Гексаэдр (или всем известный куб) – грань-квадрат, количество вершин - 8 , количество ребер - 12 , количество граней – 6.
3. Додекаэдр – грань-пятиугольник, количество вершин - 20 , количество ребер - 30 , количество граней – 12.
Помимо тетраэдра, есть и другие многогранники, гранью которых является треугольник:
4. Октаэдр – количество вершин - 6 , количество ребер – 12, количество граней – 8.
5. Икосаэдр - количество вершин - 12 , количество ребер - 30, количество граней – 20.
Существует специальная формула, которая была придумана ученым Эйлером. Данная формула связывает число рёбер, граней и сторон многогранника простым соотношением:
В+Г=Р+2, где В – количество вершин; Г – количество граней; Р – количество ребер.
Некоторые факты из истории многогранников:
1. Многогранники известны еще задолго до Платона. Историками, археологами были найдены фигурки созданный древними, в которых четко прослеживаются формы правильных многогранников. Кроме того подобные фигуры часто выступали элементами древних архитектурных строениях.
2. Считается, что многогранники (уже с точки зрения геометрии) были открыты Пифагором. Однако по другим источникам ему принадлежит заслуга открытия лишь трех многогранников, а именно тетраэдра, гексаэдра и додекаэдра. Что же касается октаэдра и икосаэдра, их открытие приписывают древнегреческому математику Теэтету Афинскому.
3. Многогранники так же называются «Платоновыми телами» потому, что в свое время Платон в одной из своих работ сопоставил многогранники с ч етырьмя природными стихиями. Каждому многограннику соответствовала своя стихия: тетраэдру – огонь, гексаэдру (кубу) – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода.
4. Полное описание многогранников с точки зрения математики и геометрии дал в одном из своих трудов Евклид.
5. Во времена известного математика Иоганна Кеплера было известно лишь пять планет Солнечной системы. Так как это число совпадала с числом существующих многогранников, которых так же 5, он пытался найти соответствие между ними и планетами.
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные.
Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; (с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге НачалЕвклида ((см. также ГЕОМЕТРИЯ)). Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.
Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойствсимметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинка — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников.
Тетраэдр
(от греческого tetra – четыре и hedra – грань)
Простейшим многогранником является Тетраэдр. Здесь нам потребуется продолжить не рёбра, а грани многогранника. Однако четыре плоскости — продолжения граней тетраэдра — ограничивают лишь ту часть трёхмерного пространства, которая совпадает с исходным телом. Шесть плоскостей куба попарно параллельны и взаимно перпендикулярны, подобно сторонам двумерного аналога куба — квадрата. Поэтому и в трёхмерном случае к кубу не добавляется новых частей. Но уже случай октаэдра даёт интересные результаты. Восемь плоскостей — продолжения граней октаэдра — отделяют от пространства новые части, так сказать, «отсеки», внешние по отношению к октаэдру. Вы обнаружите, что эти части суть не что иное, как малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Если вы теперь мысленно присоедините эти части к октаэдру таким образом, чтобы их общие с октаэдром грани исчезли, оставив нутро нового тела полым, перед вашим взором возникнет невыпуклый многогранник.
Звёздчатый октаэдр
(от греческого octo – восемь и hedra – грань)
Был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им «Stella octangula» – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название «stella octangula Кеплера».
Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. На примере октаэдра можно проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой вершине сходятся 4 треугольника, таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240 °.Из определения правильного многогранника следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.
Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров
Большой звёздчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.
Правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.