В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота – 4. Найдите:
апофему пирамиды;
площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответы
Пирамида правильная. Значит, основанием данной пирамиды является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника.
Апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многогранника.
Центр правильного треугольника - точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике медианами и биссектрисами.
а)
На рисунке в приложении О - центр основания. СН - высота ( медиана). Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Следовательно, отрезок СО=2/3 высоты СН, отрезок ОН=1/3 высоты СН.
Все углы правильного треугольника равны :180°:3=60°
CН=СВ•sin60°=6•√3/2
CO=6√3/6=√3
ОН перпендикулярна АВ и является проекцией МН на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах МН⊥АВ. =>
МН высота ∆ АМВ, т.е. апофема данной правильной пирамиды.
Высота пирамиды перпендикулярна основанию. => МО⊥СН.
Из прямоугольного ∆МОН по т.Пифагора
МН=√(МО²+НО²)=√(16+3)=√19 (ед. длины)
б)
Все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. => их площади равны.
S (AMB)=MH•AB:2=√19•6:2=3•√19
S(бок)=3•3√19=9√19 (ед. площади)
