Question

Всем привет! Помогите решить пределы, пожалуйста!
Буду признателен за каждый решённый пример.

Answer 1

Решение 1,2,3,6 номера на фотографиях

Answer 2

4)
$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+5}- \sqrt{n+1} = \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+5}- \sqrt{n+1})*(\sqrt{n+5}+ \sqrt{n+1} ) }{\sqrt{n+5}+ \sqrt{n+1} } = \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+5)- (n+1) }{\sqrt{n+5}+ \sqrt{n+1} } = \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{n+5- n-1 }{\sqrt{n+5}+ \sqrt{n+1} } = \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{4 }{\sqrt{n+5}+ \sqrt{n+1} } = \frac{4}{\infty} =0$
5)
$\lim_{n \to \infty} (\frac{n-1}{n+2} )^{4n}= \\ \\ \lim_{n \to \infty} e^{ln((\frac{n-1}{n+2} )^{4n})}= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} ln( (\frac{n-1}{n+2} )^{4n})}= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} (4n)*ln( \frac{n-1}{n+2} )}= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{1}{ \frac{1}{4n} } )*ln( \frac{n-1}{n+2} )}= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{ln( \frac{n-1}{n+2} )}{ \frac{1}{4n} } )}= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{(ln( \frac{n-1}{n+2} ))'}{ (\frac{1}{4n})' } )}=$
$e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{( \frac{n+2}{n-1})( \frac{n-1}{n+2} )'}{ -\frac{(4n)'}{(4n)^{2}} } }= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{( \frac{n+2}{n-1})( \frac{(n+2)-(n-1)}{(n+2)^{2}} }{ -\frac{4}{4*4n^{2}} } }= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{3}{(n-1)(n+2)} }{ -\frac{1}{4n^{2}} } }= \\ \\ e^{ \lim_{n \to \infty} - \frac{3*4 n^{2}}{n^{2}+n-2}} = \\ \\ e^{-12*{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+n-2} }}=$
$e^{-12*{ \lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2})'}{(n^{2}+n-2)'} }}= \\ \\ e^{-12{ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)}{(2n+1)} }}= \\ \\ e^{-12{ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)'}{(2n+1)'} }}= \\ \\ e^{-12{ \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2} }}= \\ \\ e^{-12{ \lim_{n \to \infty} 1 }}= e^{-12 }}$