Question

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y'+y*tg(x)=1/cos(x); y(\pi) = 1

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'+ytgx=0$ 

Это дифференциальное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{y} =-tg x dx ;~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y} = \dfrac{d(\cos x)}{\cos x} \\ \\ \ln|y|=\ln |\cos x|+\ln C\\ \\ y= C\cos x$

Примем теперь константу за функцию, то есть $C=C(x)$
$y=C(x)\cos x$

Дифференцируем обе части по переменной х.
$y'=C'(x)\cos x-C(x)\sin x$

Подставляем эти данные в исходное уравнение, получим

$\displaystyle C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\cos x\cdot tg x= \frac{1}{\cos x} \\ \\ C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\sin x=\frac{1}{\cos x}\\ \\ C'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}~~\Rightarrow~~ C(x)=\int \frac{dx}{\cos x}=tg x+C_1$

Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения:
                         $y=(tgx+C_1)\cos x=\sin x+C_1\cos x$

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия:

$1=\sin \pi +C_1\cos \pi \\ 1=-C_1\\ C_1=-1$

$\boxed{y=\sin x-\cos x}$ - частное решение


P.S. уравнение решено методом Лагранжа.