Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условиям: y``+y`=e^-x, y(0)=y`(0)=1

Answer 1

$y''+y'=e^{-x} \\ y=e^{kx} \\ k^2e^{kx}+ke^{kx}=0 \\ e^{kx}(k^2+k)=0 \\ k(k+1)=0 \\ y=C_1+C_2e^{-x} \\ y^*=Axe^{-x} \\ y^*'=Ae^{-x}-Axe^{-x}=Ae^{-x}(1-x) \\ y^*''=-Ae^{-x}(1-x)-Ae^{-x}=-Ae^{-x}(1-x+1)=Ae^{-x}(x-2) \\ Ae^{-x}(x-2)+Ae^{-x}(1-x)=e^{-x} \\ Ae^{-x}(x-2+1-x)=e^{-x} \\ Ae^{-x}*(-1)=e^{-x} \\ -A=1 \\ A=-1 \\\\ y^*=-xe^{-x} \\ Y=C_1+C_2e^{-x}-xe^{-x}$

$\\\\ \left \{ {{y=C_1+C_2e^{-x}-xe^{-x}} \atop {y'=-C_2e^{-x}-e^{-x}+xe^{-x}}} \right. \\ \left \{ {{y=C_1+C_2e^{-0}-0*e^{-0}=1} \atop {y'=-C_2e^{-0}-e^{-0}+0*e^{-0}=1}} \right. \\ \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {-C_2-1=1}} \right. \\ \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {C_2=-2} \right. \\ \left \{ {{C_1=3} \atop {C_2=-2} \right. \\ Y=3+-2e^{-x}-xe^{-x}$