Question

Y'-yctgx=sin2x*cosx y(pi/2)=0 Задача Коши.

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант, оформление не соблюдалось.
По возможности проверьте арифметику.

Answer 2

$y'-yctgx=sin2xcosx\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u-uvctgx=sin2xcosx\\u'v+u(v'-vctgx)=sin2xcosx\\\begin{cases}v'-vctgx=0\\u'v=sin2xcosx\end{cases}\\\frac{dv}{dx}-vctgx=0|\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}=ctgxdx\\\int\frac{dv}{v}=\int\frac{d(sinx)}{sinx}\\ln|v|=ln|sinx|\\v=sinx\\\frac{du}{dx}sinx=sin2xcosx\\\frac{du}{dx}=2cos^2x\\du=2cos^2xdx\\\int du=\int (1+cos2x)dx\\u=x+\frac{1}{2}sin2x+C\\y=xsinx+\frac{1}{2}sin2xsinx+Csinx\\y(\frac{\pi}{2})=0\\0=\frac{\pi}{2}+C\\C=-\frac{\pi}{2}$
$y=xsinx+\frac{1}{2}sin2xsinx-\frac{\pi}{2}sinx$