Question

$log_{log^{ \sqrt{3}} _{2x}(20)}(log^5_4(x))-log_{log^{log_2( \sqrt[9]{4}) _{2x}(20)}}(log^{log^{-log_4( \sqrt[3]{8} )}_2( \sqrt{8} )}_{ \sqrt[5]{4}} (16))=0$
С подробным решением

Answer 1

исходное уравнение:  
$\displaystyle\mathtt{\log_{[\log_{2x}20]^{\sqrt{3}}}(\log_4x)^5-\log_{[\log_{2x}20]^{\log_2\sqrt[9]{4}}}(\log_{\sqrt[5]{4}}16)^{(\log_2\sqrt{8})^{-\log_4\sqrt[3]{8}}}=0}$

ОДЗ: $\displaystyle\mathtt{\left\{{{\left\{{{x\ \textgreater \ 0}\atop{\log_4x\ \textgreater \ 0}}\right}\atop{\left\{{{2x\neq1}\atop{\log_{2x}20\neq1}}\right}}\right\to\left\{{{\left\{{{x\ \textgreater \ 0}\atop{x\ \textgreater \ 4}}\right}\atop{\left\{{{x\neq\frac{1}{2}}\atop{x\neq10}}\right}}\right\to~x\in(4;10)U(10;+\infty)}$

решим уравнение, предварительно упростив вычитаемое (1) с уменьшаемым (2)

$\mathtt{(1)~\log_{[\log_{2x}20]^{\log_2\sqrt[9]{4}}}(\log_{\sqrt[5]{4}}16)^{(\log_2\sqrt{8})^{-\log_4\sqrt[3]{8}}}=}\\\mathtt{\log_{[\log_{2x}20]^{\log_22^{\frac{2}{9}}}}(\log_{2^{\frac{2}{5}}}2^4)^{(\log_22^{\frac{3}{2}})^{-\log_42}}=}\\\mathtt{\log_{[\log_{2x}20]^{\frac{2}{9}}}(\frac{5}{2}*4\log_22)^{(\frac{3}{2}\log_22)^{-\frac{1}{2}}}=\log_{[\log_{2x}20]^{\frac{2}{9}}}10^{\frac{3}{2}^{-\frac{1}{2}}}=\\}$$\mathtt{\frac{9}{2}*\frac{\sqrt{6}}{3}\log_{\log_{2x}20}10=\frac{3\sqrt{6}}{2}\log_{\log_{2x}20}10}$

$\mathtt{(2)~\log_{[\log_{2x}20]^{\sqrt{3}}}(\log_4x)^5=\frac{5}{\sqrt{3}}\log_{\log_{2x}20}\log_4x=\frac{5\sqrt{3}}{3}\log_{\log_{2x}20}\log_4x}$

перепишем то, что получилось: $\mathtt{\frac{5\sqrt{3}}{3}\log_{\log_{2x}20}\log_4x-\frac{3\sqrt{6}}{2}\log_{\log_{2x}20}10=0}$

домножив обе части уравнения на $\mathtt{2\sqrt{3}}$, получаем, что $\mathtt{10\log_{\log_{2x}20}\log_4x-9\sqrt{2}\log_{\log_{2x}20}10=0}$

разложив разность логарифмов на частное их показателей, получаем $\mathtt{\log_{\log_{2x}20}\frac{\log_4^{10}x}{10^{9\sqrt{2}}}=0}$, из чего следует, что $\mathtt{\log_4^{10}x=10^{9\sqrt{2}}}$

$\mathtt{\log_4x=б\sqrt[10]{10^{9\sqrt{2}}};~\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x_1=4^{-\sqrt[10]{10^{9\sqrt{2}}}}}\\\mathtt{x_2=4^{\sqrt[10]{10^{9\sqrt{2}}}}}\end{array}\right}$

первый корень меньше четырёх, поэтому является ложным, осталось только доказать, что второй корень удовлетворяет ОДЗ

$\mathtt{4^{\sqrt[10]{10^{9\sqrt{2}}}}\ \textgreater \ 4=4^1;~\sqrt[10]{10^{9\sqrt{2}}}\ \textgreater \ 1;~10^{9\sqrt{2}}\ \textgreater \ 1=10^0;~9\sqrt{2}\ \textgreater \ 0}$

ОТВЕТ: $\mathtt{x=4^{\sqrt[10]{10^{9\sqrt{2}}}}}$