Question

$sin3x-cos3x=\sqrt{2}sinx$

Answer 1

разложим выражение sin3x-cos3x на множители:
поделим обе части на $\frac{ \sqrt{2} }{2}$
получим:
$\frac{\sqrt{2}}{2}sin3x-\frac{\sqrt{2}}{2}cos3x$
так как:
$sin(\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
то:
$sin3x*cos(\frac{\pi}{4})-cos3x*sin(\frac{\pi}{4})=sin(3x-\frac{\pi}{4})$
и, чтобы значение выражения не изменилось, домножим на $\sqrt{2}$
Теперь решаем уравнение:
$sin3x-cos3x=\sqrt{2}sinx \\\sqrt{2}*sin(3x-\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}sinx \\sin(3x-\frac{\pi}{4})-sinx=0 \\2sin(\frac{3x-\frac{\pi}{4}-x}{2})cos(\frac{3x-\frac{\pi}{4}+x}{2})=0 \\sin(\frac{3x-\frac{\pi}{4}-x}{2})=0 \\\frac{3x-\frac{\pi}{4}-x}{2}=\pi n \\2x-\frac{\pi}{4}=2\pi n \\2x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \\x_1=\frac{\pi}{8}+\pi n,\ n \in Z \\cos(\frac{3x-\frac{\pi}{4}+x}{2})=0 \\\frac{3x-\frac{\pi}{4}+x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \\4x-\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi n \\4x=\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi n \\x_2=\frac{5\pi}{16}+\frac{\pi n}{2},\ n \in Z$