Question

X4+3x3-6x-3x+1=0 решить уравнение

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{-1-\sqrt{5} }{2} ; \dfrac{-1+\sqrt{5} }{2} ; 2-\sqrt{5} ;2+\sqrt{5} .$

Объяснение:

Решить уравнение

$x^{4} +3x^{3} -6x^{2} -3x+1=0$

Данное уравнение разделим обе части на $x^{2} \neq 0$ , получим

$\dfrac{x^{4} }{x^{2} } +\dfrac{3x^{3} }{x^{2} } -\dfrac{6x^{2} }{x^{2} } -\dfrac{3x}{x^{2} } +\dfrac{1 }{x^{2} }=0;\\\\x^{2} +3x-6-\dfrac{3 }{x} } +\dfrac{1}{x^{2} } =0;\\\\\left(x^{2} +\dfrac{1}{x^{2} }\right )+\left(3x-\dfrac{3}{x} \right)-6=0;\\\\\left(x^{2} +\dfrac{1}{x^{2} }\right )+3\left(x-\dfrac{1}{x} \right)-6=0$

Пусть $x-\dfrac{1}{x} =t ,$

Тогда

$t^{2} =\left(x-\dfrac{1}{x} \right)^{2} =x^{2} -2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2} }=x^{2} -2+\dfrac{1}{x^{2} }$

Значит,

$x^{2} +\dfrac{1}{x^{2} }=t^{2} +2$

И уравнение принимает вид:

$t^{2} +2-3t -6=0;\\t^{2} -3t -4=0;\\D= 9-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25 =5^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{3-5}{2} =-\dfrac{2}{2} =-1;\\\\t{_2}= \dfrac{3+5}{2} =\dfrac{8}{2} =4;$

Тогда решим два уравнения

$1) x-\dfrac{1}{x} =-1|\cdotx\neq 0;\\\\x^{2} +x-1=0;\\D=1-4\cdot1\cdot (-1)=1+4=5 > 0;\\\\x{_1}= \dfrac{-1-\sqrt{5} }{2} ;\\\\x{_2}= \dfrac{-1+\sqrt{5} }{2} .$

$2) x-\dfrac{1}{x} =4|\cdotx\neq 0;\\\\x^{2} -4x-1=0;\\D=(-4)^{2} -4\cdot1\cdot (-1)=16+4=20 > 0;\\\\x{_1}= \dfrac{4-\sqrt{20} }{2}= \dfrac{4-2\sqrt{5} }{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{5} )}{2}=2-\sqrt{5} ;\\\\x{_2}= \dfrac{4+\sqrt{20} }{2}= \dfrac{4+2\sqrt{5} }{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{5} )}{2}=2+\sqrt{5} .$

Тогда получим корни уравнения

$\dfrac{-1-\sqrt{5} }{2} ; \dfrac{-1+\sqrt{5} }{2} ; 2-\sqrt{5} ;2+\sqrt{5} .$