Question

Найдите двузначное число, равное квадрату суммы цифр этого числа.

Answer 1

Число имеет вид $\frac{}{ab}$. По условию:
$10a+b=(a+b)^2 \\ 10a+b=a^2+2ab+b^2$
Минимальное двузначное число равно 10, максимальное равно 99. Тогда 
$a+b$ простирается в границах от $\sqrt{10}<4$ до $\sqrt{99}>9$. Окончательно, учитывая целые a и b имеем $4 \leq a+b \leq 9$ и $16 \leq \frac{}{ab} \leq 81$ 
А дальше идет разумный(!) перебор возможных вариантов.
Сразу видим, что 0 не может быть в числе(иначе а=10)
Далее. Исходя из первого равенства, наше число является квадратом целого числа, поэтому, учитывая ОО, рассматриваем числа 16, 25, 36, 49, 64, 81. Из них подходит лишь 81(причем считать пришлось только в случаях с 64 и 81, так как остальные отбрасываются простой оценкой).
Ответ: 81