Question

интеграл, пожалуйста помогите решить

Answer 1

$D:\; \; y=x^2-1\; ,\; \; x\geq 0\; ,\; \; y\leq 0\\\\\iint\limits_{D}(x^2-2y)\, dx\, dy=\int\limits^1_0\, dx\int\limits^0_{x^2-1} (x^2-2y)\, dy=\\\\=\int\limits^1_0\, dx\Big (\int\limits^0_{x^2-1}\, x^2dy-\int\limits^0_{x^2-1}\, 2y\, dy\Big )=\\\\=\int\limits^1_0\, dx\Big (x^2\cdot y\Big |_{x^2-1}^0-2\cdot \frac{y^2}{2}\Big |_{x^2-1}^0\Big )=\\\\=\int\limits^1_0\Big (x^2\cdot 0-x^2(x^2-1)-0^2+(x^2-1)^2\Big )\, dx=\\\\= \int\limits^1_0(-x^4+x^2+x^4-2x^2+1)\, dx=\int\limits^1_0(-x^2+1)\, dx=\\\\=(-\frac{x^3}{3}+x)\Big |_0^1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$