Question

Пожалуйста помогите интеграл номер 1.5

Answer 1

При дифференцировании с внешним интегралом по dх область D будет простой и точки входа в область лежат на линии  y= -x , а точки выхода - на линии у=2-х² . Область проектируется на ось ОХ в отрезок [-1.2] .
При дифференцировании с внешним интегралом по dy область D будет состоять из двух простых областей. У 1-ой области точки входа лежат на линии х=-у , а точки выхода на линии   $x=+\sqrt{2-y}$  . Область проектируется на ось ОУ в отрезок [-1,2] .
У второй области точки входа и выхода лежат на параболе, но вход на левой её части  $x=-\sqrt{2-y}$ , а выход на правой половине $x=+\sqrt{2-y}$ . Область проектируется на ось ОУ в отрезок [1,2].
Точки пересечения параболы и прямой:

$x^2=2-y\; \; \to \; \; y=2-x^2\\\\x+y=0\; \; \to \; \; y=-x\\\\2-x^2=-x\; \; \to \; \; x^2-x-2=0\; ,\; \; x_1=-1\; ,\; \; x_2=2\\\\\\ \iint\limits_{D}\, f(x,y)\, dx\, dy= \int\limits^2_{-1}\, dx\int\limits^{2-x^2}_{-x}f(x,y)\, dy=\\\\=\int\limits^1_{-2}\, dy\int\limits^{\sqrt{2-y}}_{-y}f(x,y)\, dx +\int\limits^2_1 \, dy \int\limits^{\sqrt{2-y}}_{-\sqrt{2-y}} f(x,y) \, dx$