Question

исследовать на экстремум функцию:
z=x^3+6xy+3y^2-18x-18y

Answer 1

z = x³+6*x*y+3*y²-18*x-18*y
1. Найдем частные производные.
dz/dx = 3*x²+6*y-18,
dz/dy = 6*x+6*y-18.

2. Решим систему уравнений.
3*x²+6*y-18 = 0
6*x+6*y-18 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = -y+3
6*y+3*(-y+3)²-18 = 0
или
3*y²-12*y+9 = 0
Откуда y1 = 1; y2 = 3
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = 2; x2 = 0
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:
y = (-x²/2) + 3 
-3*x²+6*x = 0
или
3*x*(-x+2) = 0
Откуда x1 = 0; x2 = 2
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = 3; y2 = 1
Количество критических точек равно 2.
M1(2;1), M2(0;3)
3. Найдем частные производные второго порядка.
d²z/(dxdy) = 6,
d²z/(dx²) = 6x,
d²z/(dy²) = 6,

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(2;1)
A = d²z/(dx²(2;1)) =12,
C = d²z/(dy²(2;1)) = 6,
B = d²z/(dxdy(2;1)) = 6,
AC - B² = 72 - 36 = 36 > 0 и A > 0 , то в точке M1(2;1) имеется минимум:
 z(2;1) = -31.
Вычисляем значения для точки M2(0;3)
A = d²z/(dx²(0;3)) =0,
C = d²z/(dy²(0;3)) = 6,
B = d²z/(dxdy(0;3)) = 6,
AC - B² = 0 - 36 = -36 < 0, то глобального экстремума нет.
Вывод: В точке M1(2;1) имеется минимум z(2;1) = -31;