Question

Помогите, пожалуйста решить интеграл первой подстановкой Эйлера, подробно если можно, много раз решала, но до конечного ответа дойти не могу.

Answer 1

$\large \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}=2\int\frac{t^2+t+1}{(1+2t)^2}*\frac{1+2t}{t^2-1}*\frac{1+2t}{t^2+t+1}dt=\\=2\int\frac{dt}{t^2-1}=ln|\frac{t-1}{t+1}|+C=ln|\frac{\sqrt{x^2+x+1}+x-1}{\sqrt{x^2+x+1}+x+1}|+C\\\\\sqrt{x^2+x+1}+x=t\\\sqrt{x^2+x+1}=t-x\\x^2+x+1=t^2-2tx+x^2\\x+1=t^2-2tx\\x(1+2t)=t^2-1\\x=\frac{t^2-1}{1+2t};dx=2\frac{t^2+t+1}{(1+2t)^2}dt\\\sqrt{x^2+x+1}=t-\frac{t^2-1}{1+2t}=\frac{t^2+t+1}{1+2t}$