Question

Помогите, нужно подробное решение

Answer 1

избавимся от степени
$= \lim_{n \to \infty} e^{ln ( \frac{x+3}{x-2} )^{2x+1}}= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} ln ( \frac{x+3}{x-2} )^{2x+1}}= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} ((2x+1)ln ( \frac{x+3}{x-2} ))}=$
под пределом получили неопределенность 0*∞ , преобразуем в 0/0 и применим несколько раз правило Бернулли-Лопиталя
$=e^{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{1}{ \frac{1}{2x+1} } ln ( \frac{x+3}{x-2} ))}= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{ ln ( \frac{x+3}{x-2} )}{ \frac{1}{2x+1} })}= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{ (ln ( \frac{x+3}{x-2} ))'}{( \frac{1}{2x+1})' }}= (*)\\ \\ (ln ( \frac{x+3}{x-2} ))'= \frac{x-2}{x+3}* ( \frac{x+3}{x-2} )'= \frac{x-2}{x+3}* \frac{(x-2)-(x+3)}{(x-2)^{2}} =- \frac{5}{(x-2)(x+3)} ; \\ \\ ((2x+1)^{-1})'=-(2x+1)^{-2}*(2x+1)'= -\frac{2}{(2x+1)^{2}}$
$(*)=e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{5}{(x-2)(x+3)} }{ \frac{2}{(2x+1)^{2}} }}= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{5(2x+1)^{2}}{2(x-2)(x+3)} }= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{5(4 x^{2} +4x+1)}{2(x^{2}+x-6)} }= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{(5(4 x^{2} +4x+1))'}{(2(x^{2}+x-6))'} }= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{5(8 x +4)}{2(2x+1)} }= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{5(8 x +4)'}{2(2x+1)'} }= \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{5*8}{2*2} }=$
$=e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{40}{4}}= \\ \\ =e^ \lim_{n \to \infty} 10=$
$=e^{10}$