Предмет: Математика, автор: elvira1234123

Помогите, нужно подробное решение

Приложения:

Ответы

Автор ответа: pavlikleon
0
избавимся от степени
= \lim_{n \to \infty} e^{ln ( \frac{x+3}{x-2}  )^{2x+1}}= \\  \\ 
=e^{ \lim_{n \to \infty} ln ( \frac{x+3}{x-2}  )^{2x+1}}= \\  \\ 
=e^{ \lim_{n \to \infty} ((2x+1)ln ( \frac{x+3}{x-2}  ))}= \\  \\
под пределом получили неопределенность 0*∞ , преобразуем в 0/0 и применим несколько раз правило Бернулли-Лопиталя
=e^{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{1}{ \frac{1}{2x+1} } ln ( \frac{x+3}{x-2} ))}= \\  \\ 
=e^{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{ ln ( \frac{x+3}{x-2} )}{ \frac{1}{2x+1} })}= \\  \\ 
=e^{ \lim_{n \to \infty}  \frac{ (ln ( \frac{x+3}{x-2} ))'}{( \frac{1}{2x+1})' }}=  (*)\\  \\ 
(ln ( \frac{x+3}{x-2} ))'= \frac{x-2}{x+3}*  ( \frac{x+3}{x-2} )'=
\frac{x-2}{x+3}* \frac{(x-2)-(x+3)}{(x-2)^{2}} =- \frac{5}{(x-2)(x+3)} ; \\  \\ 
((2x+1)^{-1})'=-(2x+1)^{-2}*(2x+1)'= -\frac{2}{(2x+1)^{2}}  \\  \\
(*)=e^{ \lim_{n \to \infty}  \frac{ \frac{5}{(x-2)(x+3)} }{ \frac{2}{(2x+1)^{2}} }}= \\  \\ 
 =e^{ \lim_{n \to \infty}   \frac{5(2x+1)^{2}}{2(x-2)(x+3)} }= \\  \\ 
 =e^{ \lim_{n \to \infty}   \frac{5(4 x^{2} +4x+1)}{2(x^{2}+x-6)} }= \\  \\ 
 =e^{ \lim_{n \to \infty}   \frac{(5(4 x^{2} +4x+1))'}{(2(x^{2}+x-6))'} }= \\  \\
  =e^{ \lim_{n \to \infty}   \frac{5(8 x +4)}{2(2x+1)} }= \\  \\ 
  =e^{ \lim_{n \to \infty}   \frac{5(8 x +4)'}{2(2x+1)'} }= \\  \\ 
=e^{ \lim_{n \to \infty}   \frac{5*8}{2*2} }=
=e^{ \lim_{n \to \infty}  \frac{40}{4}}= \\  \\ 
=e^ \lim_{n \to \infty} 10=
=e^{10}
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: тим184