Question

Решите логарифмическое
$2 log_{( {x}^{2} - 4x + 5})^2( {4x}^{2} + 1) \leqslant log_{ {x}^{2} - 4x + 5 }( {3x}^{2} + 4x + 1 )$
неравенство

Answer 1

для начала обозначим ОДЗ:
x^2-4x+5 > 0 & x^2-4x + 5 != 1
Основание всегда больше 0
x^2 - 4x + 4 != 0
(x - 2)^2 != 0
x != 2
4x^2 + 1 > 0
3x^2 + 4x + 1 > 0
x1,2 = (-4 ± 2)/6 = -1 & -1/3
x<-1 | x > -1/3
2log((x^2 - 4x + 5)^2, 4x^2 + 1) <= log(x^2-4x+5, 3x^2 + 4x + 1)
log(x^2 - 4x + 5, 4x^2 + 1) <= log(x^2-4x+5, 3x^2 + 4x + 1)
log(x^2 - 4x + 5, (3x^2 + 4x + 1)/(4x^2 + 1)) >= 0
потенциируем
(3x^2 + 4x + 1)/(4x^2 + 1) >= 1
(3x^2 + 4x + 1)/(4x^2 + 1) - (4x^2 + 1)/(4x^2 + 1) >= 0
можем умножить обе части на 4x^2 + 1 тк выражение всегда больше 0
3x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 1 >= 0
 
-x^2 + 4x >= 0
-(x^2 - 4x) >= 0
(x-2)(x+2) <= 0
с учётом ОДЗ 
-2 <= x < -1 & -1/3 < x < 2

Answer 2

исходное неравенство: $\mathtt{2\log_{(x^2-4x+5)^2}(4x^2+1)\leqslant\log_{x^2-4x+5}(3x^2+4x+1)}$

сейчас я предоставлю тебе систему, которая, при поочерёдном решении каждого её элемента (будь тот уравнением или очередной системой), даёт окончательный ответ – алгебраическая модель задачи: 

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{\left\{{{\left\{{{4x^2+1\ \textgreater \ 0}\atop{3x^2+4x+1\ \textgreater \ 0}}\right}\atop{\left\{{{x^2-4x+5\ \textgreater \ 0}\atop{x^2-4x+5\neq1}}\right}}\right}\atop{\log_{x^2-4x+5}(4x^2+1)\leqslant\log_{x^2-4x+5}(3x^2+4x+1)}}\right}$

ну что, решаем?)

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{x\in(-\infty;-1)U(\frac{1}{3};2)U(2;\infty),}\atop{\log_{x^2-4x+5}(4x^2+1)\leqslant\log_{x^2-4x+5}(3x^2+4x+1)}}\right}$
$\displaystyle\mathtt{\left\{{{x\in(-\infty;-1)U(\frac{1}{3};2)U(2;\infty),}\atop{\log_{x^2-4x+5}(4x^2+1)-\log_{x^2-4x+5}(3x^2+4x+1)\leqslant0}}\right}$
$\displaystyle\mathtt{\left\{{{x\in(-\infty;-1)U(\frac{1}{3};2)U(2;\infty),}\atop{(x^2-4x+5-1)(4x^2+1-3x^2-4x-1)\leqslant0}}\right}$
$\displaystyle\mathtt{\left\{{{x\in(-\infty;-1)U(\frac{1}{3};2)U(2;\infty),}\atop{x(x-2)^2(x-4)\leqslant0}}\right}$

ОТВЕТ: $\mathtt{x\in(\frac{1}{3};2)U(2;4]}$