Question

$(x^4+5x+4)(x^2+5x+6)=120$ Найти сумму действительных корней

Answer 1

$( x^{2} +5x+4)( x^{2} +5x+6)=120$

Заметим, что в 1 и во 2 скобках есть одинаковые выражения. (x²+5x)
Сделаем замену.
Пусть x²+5x = t
Тогда : 

$(t+4)(t+6)=120 \\ t^{2}+10t-96 = 0 \\ t1 = -16 \\ t2 = 6$

Вернёмся к замене "x²+5x = t" и вместо t подставим полученные нам значения. t1 = -16, t2 = 6.
x²+5x = t1;                            x²+5x = t2
x²+5x = -16;                          x²+5x = 6
x²+5x+16 = 0                        x²+5x-6=0
D = b²-4ac = 25 - 64 < 0       x1 = -6
Корней не имеет.                 x2 = 1

Итого. Исходя из теоремы Виетта, сумма корней равняется отрицательному кф b квад. уравнения ax²+bx+c=0 [a=1]
x^2 + 5x - 6 = 0 [a=1, b=5, c=-6]
Т.е. x1 + x2 = -b
x1 = -6
x2 = 1
-6 + 1 = -5

Сумма корней равна -5.