Question

10 БАЛЛОВ ПОМОГИТЕ С РИСУНКОМ
В трапеции основания относятся как 1:3, а диагонали − 2:3. Прямые, проведенные

через боковые стороны, перпендикулярны. Найти отношение длин боковых сторон.

Answer 1

Дополнительное построение: EA||BD, FA||CD, G - середина FB.

AE=BD, AF=CD, EB=FC=AD (как противоположные стороны параллелограммов)
AD=3BC, FB=FC-BC=2BC, EF=EB-FB=BC, FG=GB=FB/2=BC

AB⊥CD => AB⊥AF, ∠FAB=90°
AG=FB/2=BC (медиана из прямого угла равна половине гипотенузы)

AG=EF=FG=GB=BC=y
AE=BD=2x
AC=3x
AF=CD=a
AB=b

△FAB (по теореме Пифагора):
a^2 +b^2 =4y^2

-------
Медиана через стороны треугольника (теорема Аполлония):
Mc= √(2a^2 +2b^2 -c^2)/2
-------

AG - медиана △FAB
y= √(2a^2 +2b^2 -4y^2)/2

AG - медиана △EAC
y= √(8x^2 +18x^2 -16y^2)/2

√(2a^2 +2b^2 -4y^2)/2 = √(8x^2 +18x^2 -16y^2)/2 <=>
a^2 +b^2 = 13x^2 -6y^2 <=>
4y^2 = 13x^2 -6y^2 <=>
10y^2 = 13x^2 <=>
y^2= 1,3x^2

AF - медиана △EAG
a= √(8x^2 +2y^2 -4y^2)/2 =√(8x^2 -2y^2)/2

AB - медиана △GAC
b= √(18x^2 +2y^2 -4y^2)/2 =√(18x^2 -2y^2)/2

a/b= √(8x^2 -2y^2)/2 ÷ √(18x^2 -2y^2)/2 =
√[ (4x^2 -y^2)/(9x^2 -y^2) ] =
√[ (4x^2 -1,3x^2)/(9x^2 -1,3x^2) ] =
√(2,7x^2/7,7x^2) = √(27/77)

CD/AB = √(27/77)

Answer 2

Решение в приложении.