Question

Исследовать функцию на наличие наклонных асимптот (подробное решение)
y=((x-3)^2)/4(x-1)

Answer 1

$y=\frac{(x-3)^2}{4(x-1)}$

Наклонная асимптота:  $y=kx+b$  .

$k= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim\limits _{ \to \infty}\frac{(x-3)^2}{4x(x-1)}=\frac{1}{4}\\\\b= \lim\limits _{x \to \infty}(f(x)-kx)=\lim\limits _{x \to \infty}(\frac{(x-3)^2}{4(x-1)}-\frac{x}{4})=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{(x-3)^2-x^2+x}{4(x-1)}=\\\\= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{-5x+9}{4x-4}=-\frac{5}{4}\\\\\boxed {y=\frac{x}{4}-\frac{5}{4}}\; \; naklonnaya\; asimptota$

2)  Вертикальная асимптота  x=x₀ : 

$x=x_0\; ,\; \; esli\; \; \lim\limits _{x \to x_0}\, f(x)=\infty \\\\\lim\limits _{x \to 1}\frac{(x-3)^2}{4(x-1)} = \lim\limits _{x \to 1}\frac{x^2-6x+9}{4x-4}= \lim\limits _{x \to 1}\frac{x^2}{4x}= \lim\limits _{x \to 1}\frac{x}{4}=\infty \\\\\boxed {x=1}\; \; vertikalnaya\; \; asimptota$