Question

В четырёхугольнике две стороны параллельны, а диагонали перпендикулярны. Докажите, что две другие стороны равны.

Answer 1

Если диагонали перпендекулярны, то этот четырехугольник - квадрат. У квадрата все стороны равны.

Answer 2

Нарисуй четырёхугольник ABCD проведи в нем диагонали AC и BD, они пересекаются в точке О. Я взяла, что AB параллельно CD. Так как диагонали перпендикулярны, то углы AOB=углуBOC=углу COD=углу AOD=90 градусов. Треугольники AOB и COD подобны по двум углам (Угол ABD=уголBDC, как накрест лежащие углы при AB параллельной CD и секущей BD и угол AOB= угол COD=90 градусов). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон BO/OD=AO/CO=AB/CD.
1) BO/OD=AO/OC
2) УГОЛ AOD=УголBOC=90 градусов. ТО ИЗ 1) и 2) следует подобие треугольников AOD и BOC  по второму признаку. Следовательно, угол CBO=угол ADO
угол CBO=угол ADO это накрест лежащие  углы при секущей BD. Следовательно BC//AD по 1 признаку параллельности прямых
1) AB//CD
2)BC//AD. ИЗ 1) и 2) следует что ABCD параллелограмм. А следовательно, BC=AD по 1 свойству параллелограмма.