Question

найдите точку минимума функции $y=\frac{4}{3} x\sqrt{x} -7x+6$

Answer 1

$y= \frac{4}{3} \cdot x \sqrt{x} - 7x + 6.$

Найдем производную y'(x).

$y'(x)=(\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - 7x + 6)'=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2} - 1} - 7 = 2\cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 = 2\sqrt{x} - 7.$

Найдем точку x, в которой производная равна нулю.
$2\sqrt{x} - 7 =0\\ 2\sqrt{x}=7\\ \sqrt{x} = \frac{7}{2} \\ x = \frac{49}{4}$

Согласно достаточному условию минимума: производная в этой точке должна сменить знак с "минуса" на "плюс".
Проверим это. Возьмем точку (x1) левее от точки минимума и точку (x2) правее от неё и посчитаем значения производной в этих точках. $x_1 = 0, \ x_2 = 16.$
$y'(0) = 2\sqrt{0} - 7 = - 7 \ \textless \ 0.$
$y'(16) = 2\sqrt{16} - 7 = 8 - 7 = 1 \ \textgreater \ 0.$
Действительно, в точке $x = \frac{49}{4} = 12.25$ минимум функции.

Ответ: x = 12.25