Question

функция f(x)=12x-x³
найти
а) промежутки возраст. и убыв.
б) точки мах и min
в) наибольшее и наименьшее значение на [-1;3]

Answer 1

Дана функция f(x)=12x-x³
найти
а) промежутки возрастания и убывания.
Находим производную.
y' = 12 - 3x² и приравняем нулю.
12 - 3x² = 3(4 - x²) = 0.
Отсюда находим 2 критические точки: х = 2 и х = -2.
Имеем 3 промежутка монотонности: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; +∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
x =   -3     -2       0      2       3
y' = -15     0      12     0      -15.
Функция возрастает на промежутке (-2; 2),
убывает на промежутках (-∞; -2) и (2; +∞).

б) точки мах и min.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
В точке х = -2 минимум функции,
 в точке х = 2 максимум функции.

в) наибольшее и наименьшее значение на [-1;3].
Минимум на этом промежутке в точке х = -1, у = 12*(-1)-(-1)³ = -11.
Максимум по пункту б) в точке х = 2.