Question

Прошу, помогите решить и объясните что и как получилось. График можно не строить(Photomath построило график но ничего не объяснило) y=1/2*(|x/3-3/x|+x/3+3/x) и еще "определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку" буду очень благодарен!

Answer 1

1) Область определения функций $(-\infty;0) \cup (0; +\infty)$ 
2) Найдем точки пересечения с осью $OX$ 
 $\frac{ |\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}}{2}=0 \\ \\ f(x)=\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}=0 \\ x=\pm 3 \\\\ 1)x \in [-3,0) \cup [3, +\infty ) , \ \ f(x) \geq 0 \\ 2)x \in (-\infty; 3) \cup (0,3) , \ \ f(x)\ \textless \ 0 \\ \\ 1) \frac{x}{3}-\frac{3}{x}+\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=0\\ x=0\\ 2) \frac{3}{x}-\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=0\\ x \neq 0$ 
  То есть функция не пересекает ось $OX$  
3) Найдем возрастание и убывание$(\dfrac{|\frac{x}{3}-\frac{3}{x}|+\frac{x}{3}+\frac{3}{x}}{2})'=0\\ \dfrac{(x^2-9)(x|\frac{9}{x}-x|+x^2+9)}{6x^3|\frac{9}{x}-x|}=0$ функции  
 
 При $x \in (-\infty; -3) \cup (0,3)$ получаем $\frac{9}{x}-x \ \textgreater \ 0$ 
 Тогда производная функция $18(x^2-9)\ \textgreater \ 0\\ x \in (-\infty; - 3 ) \cup (3; +\infty)$  не подходит. 
  При $x \in (-3;0) \cup (3; +\infty) \\ \frac{9}{x}-x\ \textless \ 0$   
 Тогда производная  $2x(x^2-9)\ \textgreater \ 0 \\ x=0 ; x=\pm 3 \\ x \in (-3,0) \cup (3; + \infty )$ совпадает 
 Получаем что на отрезке 
 $x \in (-3;0) \cup (3;+\infty)$ функция возрастает 
 На отрезке $x \in (-\infty;-3) \cup (0;3)$ убывает 
  Откуда и строится график 
 
 4) Значит при $x=\pm 3$ прямая $y=m$ должна иметь одну точку касания , при $x=-3,y=-1\\ x=3.y=1\\ m = \pm 1$