Question

Исследовать сходимости рядов.3 нужен

Answer 1

Исследовать сходимости ряд $\sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n^p}$ ,  где р > 1.

Решение.

Вообще-то это гармонически ряд и при р > 1 - данный ряд сходится.

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении примера можно смело на это ссылаться.

Однако, давайте докажем сходимость ряда.

Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю, тогда

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = \frac{1}{ \infty^p} = 0$

Необходимое условие сходимости выполнено, однако для исследования ряда применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию
$f(x) = \frac{1}{x^p}$
функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке $[1 \ ; \ + \infty ]$

$\int\limits^{ \infty}_1 { \frac{dx}{x^p} } = \lim_{ \alpha \to \infty} \int\limits^{ \alpha}_1 { x^{-p} {dx} = \lim_{ \alpha \to \infty} \frac{x^{1-p}}{1-p} |_1^ \alpha =$

$= \lim_{ \alpha \to \infty} ( \frac{ \alpha ^{1-p}}{1-p} - \frac{1}{1-p}) = \frac{-1}{1-p}$

Отсюда видно, что при р>1 несобственный интеграл равен конечному числу, т.е. сходится, а значит и ряд тоже сходится!