Question

Исследовать сходимости рядов.

Answer 1

1) общий член ряда, что то в степени n, значит имеет смысл пробовать радикальный признак сходимости ряда Коши
а именно
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} =q$
если q<1, то ряд сходится; если q>1 расходится
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{( \frac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}+2n+1})^{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}+2n+1}= \lim_{n \to \infty} \frac{2*2n+2}{5*2n+2}= \\ \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{10} =0.4$
(извлек корень н-ой степени, два раза использовал правило Бернулли - Лопиталя)
0,4<1 ⇒ ряд сходится