Question

помогите найти определенный интеграл
$\int\limits^e_1 {x} ln x \, dx$

Answer 1

Этот интеграл можно решить по частям, взяв u=lnx и dv=xdx, тогда дифференцируя и интегрируя, получим du=dx/x и v = x²/2

$\int\limits^e_1 x \ln xdx= \frac{x^2\ln x}{2}|^e_1- \int\limits^e_1 \frac{xdx}{2} = \frac{e^2}{2} - \frac{x^2}{4}|^e_1= \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$

Answer 2

$\displaystyle \int\limits^e_1 {x} ln xdx=\frac{x^2lnx}{2}|^e_1-\frac{1}{2} \int\limits^e_1 xdx =\frac{x^2lnx}{2}|^e_1-\frac{x^2}{4}|^e_1=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\\=\frac{e^2+1}{4}\approx2,097\\\\\\u=lnx;du=\frac{dx}{x}\\dv=xdx;v=\frac{x^2}{2}$