Question

Вычислите тройной интеграл. Задание прикрепила )

Answer 1

область симметрична по всем координатам, значит все равно в каком порядке интегрировать
( в случае с двойным, в предыдущем Вашем задании область не была "симметрично" задана, поэтому можно было интегрировать сначала по х, потом по у, или же наоборот)
будем интегрировать z - y - x (так всем кажется привычней)
1) Рассмотрим область V:
z принимает значения от 0 до 1-у-х
2) Рассмотрим область D (проекция области  V на плоскость Оху)
у принимает значения от 0 до 1-х
3) и, наконец, проекции области D на ось Ох
х принимает значения от 0 до 1
Таким образом:
$\int\int\int\limits_V { \frac{dxdydz}{1-x-y} }= \int\limits^1_0 \, dx \int\limits^{1-x}_0 \, dy \int\limits^{1-x-y}_0 { \frac{1}{1-x-y} } \, dz=$
интегрируем по очереди:
$= \int\limits^1_0 \, dx \int\limits^{1-x}_0 \, dy ({ \frac{1}{1-x-y} }* z)|^{1-x-y}_{0}= \\ \\ = \int\limits^1_0 \, dx \int\limits^{1-x}_0 {( \frac{1-x-y}{1-x-y}-0) \, dy = \int\limits^1_0 \, dx \int\limits^{1-x}_0 1 \, dy =\int\limits^1_0 \, dx (y)|^{1-x}_{0}=$
$= \int\limits^1_0 {(1-x)} \, dx =(x- \frac{ x^{2} }{2})|^{1}_{0}=1- \frac{1}{2}-0+0= \frac{1}{2}$