Question

Вычислите двойной интеграл .8 Задание прикрепила. Помогите чем можете❤️ дам 100 баллов)

Answer 1

$\displaystyle \iint_{D}(x+y)dxdy= \int\limits^1_0 {} \, dx \int\limits^x_{x^2}(x+y)dy=\int\limits^1_0dx\cdot (xy+ y^2/2)|^x_{x^2}=\\ \\ \\ =\int\limits^1_0(x^2+x^2/2-x^3-x^4/2)dx=\int\limits^1_0(1.5x^2-x^3-0.5x^4)dx=\\ \\ \\ =(0.5x^3 - \frac{x^4}{4} -0.1x^5)|^1_0=0.5-0.25-0.1=0.15$

Answer 2

чисто что бы было, как альтернатива.
область интегрирования задана неявно.
изобразив график (примерно) видно, что точки (0;0) и (1;1) являются левой нижней и правой верхней, из чего
D={0<=x<=1; x²<=y<=x}={0<=y<=1;y<=x<=√y}
$\int\int\limits_D {(x+y)} \, dxdy = \int\limits^1_0 \, dy \int\limits^y_ \sqrt{y}} {(x+y)} \, dx = \int\limits^1_0 \, dy ( \frac{1}{2} x^{2} +xy)|_{y}^{ \sqrt{y}}= \\ \\ = \int\limits^1_0 {( \frac{1}{2} y+y \sqrt{y} - \frac{1}{2} y^{2}-y^{2})} \, dy = \\ \\ = \int\limits^1_0 {( \frac{1}{2} y+y \sqrt{y} - \frac{3}{2} y^{2})} \, dy = \\ \\ =( \frac{1}{4} y^{2} + \frac{2}{5}y^{ \frac{5}{2}}- \frac{1}{2} y^{3}) |_{0}^{1} = \\ \\ \frac{1}{4} + \frac{2}{5}- \frac{1}{2} = \frac{5+8-10}{20}=$
$= \frac{3}{20}= 0.15$