Question

метод интегрирования рациональной дроби

Answer 1

Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:
$\frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{ {(x + 2)}^{2} } + \frac{d}{{ {(x + 2)}^{3} }}$
=====
$\frac{a( {x + 3)}^{3} + b(x - 2)( x + 2)^{2} + c(x - 2)(x + 2) + d(x - 2)}{ {(x - 2)(x + 2)}^{2} }$
Приравняем числители и учтем что коэффициенты при одинаковых степинях x, стоящие слева и справа должны совпадать:

${x}^{3} + 6 {x}^{2} + 13x + 6 = a({x + 2})^{3} + b(x - 2) {x + 2}^{2} + c(x - 2)(x + 2) + d(x - 2)$
${x}^{3} \div a + b = 1$
${x}^{2} \div 6a + 2b + c = 6$
$x \div 12a - 4b + d = 13$
$1 \div 8a - 8b - 4c - 2d = 6$
Решая ее находим:
а= 1; b=0;c=-0;d=1

$\frac{ {x}^{3} + 6 {x}^{2} + 13x + 6 }{(x - 2) (x + 2)^{3} } =$
$= \frac{1}{x - 2} + \frac{0}{x + 2} + \frac{ - 0}{ {x + 2}^{2} } + \frac{1}{({x + 2})^{3} }$
$\frac{1}{x - 2} dx = ln(x - 2)$

$\frac{1}{( {x + 2)}^{3} } dx = - \frac{1}{2 {x}^{2} + 8x + 8}$
Ответ:

$ln(x - 2) - \frac{1}{ 2{x}^{2} + 8x + 8 } + c$