Question

Исследовать сходимость.

Answer 1

смотрим на ряд:
1 все члены ряда положительны
2 присутствует неопределенность типа ∞^∞, поэтому используем радикальный признак сходимости Коши:
т.е  рассмотрим
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ a_n } = q$
Если q>1 ряд расходится, если меньше 1 то сходится
Итак:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{n^{3}}{(ln(n))^{n}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^ \frac{3}{n} }{ln(n)} = \frac{1^{3}}{oo} =0$
q<1 значит ряд сходитcя

Примечание:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n \to \infty} e^{ln \sqrt[n]{n} }= \lim_{n \to \infty} e^{ \frac{1}{n}*ln(n)}= \lim_{n \to \infty} e^{ \frac{ln(n)}{n} } = \\ \\ =e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n)}{n} }=e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n)'}{n'}} = e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n} }{1} }=e^ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}} = e^{0}=1$