Question

Исследовать сходимость , абсолютную сходимость и расходимость.

ДАЮ 100 БАЛЛОВ! СРОЧНА!!!

Answer 1

Первое условие признака Лейбница выполняется 1/ln2 > 1/ln8 > 1/ln216

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n\ln 2n} =0$Второе условие Лейбница выполняется. Таким образом, рассматриваемый ряд сходится.

Исследуем теперь ряд на абсолютность. Возьмём ряд по модулю

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\bigg| \frac{(-1)^{n+1}}{n\ln 2n}\bigg|=\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n\ln 2n}$ Применим интегральный признак:
  $\displaystyle \int\limits^{\infty}_1 {} \, \frac{dn}{n\ln 2n}=2 \int\limits^{\infty}_1 \frac{d\ln 2n}{\ln 2n} =2\ln|\ln 2n|\bigg|^{\infty}_1=\infty$ Несобственный интеграл расходится, следовательно и ряд по модулю тоже расходится, а значит данный ряд будет сходится УСЛОВНО