Question

Помогите с примером
интеграл x+1/корень 3 степени (3x+1) на отрезке от 0 до 3
$\int\limits^3_0 { \frac{x+1}{ \sqrt[3]{3x+1} } } \, dx$

Answer 1

$\int\limits^3_0 \frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}} \, dx=[\, 3x+1=t^3\; ,\; x=\frac{t^3-1}{3}\; ,\; dx=\frac{1}{3}\cdot 3t^2\, dt\; ,\\\\t=\sqrt[3]{3x+1},\; t_1=1\; ,\; t_2=\sqrt[3]{10}\; ]= \int\limits^{\sqrt[3]{10}}_1 \frac{\frac{t^3+2}{3}}{t}\cdot t^2\, dt=\\\\=\frac{1}{3}\int\limits^{\sqrt[3]{10}}_1 \, (t^3+2)\cdot t\, dt=\frac{1}{3} \int\limits^{\sqrt[3]{10}}_1(t^4+2t)dt=\frac{1}{3}\cdot (\frac{t^5}{5}+t^2)\Big |_1^{\sqrt[3]{10}}=\\\\=\frac{1}{3}\cdot (\frac{10\sqrt[3]{100}}{5}+\sqrt[3]{100}-\frac{1}{5}-1)=\frac{1}{3}\cdot (3\sqrt[3]{100}-\frac{6}{5})=\sqrt[3]{100}-\frac{2}{5}$