Question

Исследовать сходимость , абсолютную сходимость и расходимость.

ДАЮ 100 БАЛЛОВ! СРОЧНА!!!

Answer 1

Если подставить n=2 и n=3 то получим что 1/2 > 3/8. По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

Второе условие:  $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} =0$. Второе условие Лейбница выполняется, значит данный ряд сходится.

Осталось теперь исследовать на абсолютную сходимость. 

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\bigg| \frac{(-1)^nn}{2^n} \bigg|=\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n}{2^n}$ - сходится.

Данный ряд будет сходится АБСОЛЮТНО

Answer 2

Рассмотрим ряд составленный из модулей, т.е. :
∑$_{n=1}^{oo} \frac{n}{2^{n}}$
Применим признак Даламбера:
$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=q$
И сравним q  с 1
$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{n+1}{2^{n+1}} }{ \frac{n}{2^{n}} } = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n}* \frac{2^{n}}{2^{n+1}} ) = \lim_{n \to \infty} ( (1+ \frac{1}{n} )* \frac{1}{2} )= \frac{1}{2}$
Получили q<1, значит ряд составленнный из модулей сходится,
что в свою очередь означает, что заданный знакочередующийся ряд СХОДИТСЯ АБСОЛЮТНО