Question

Найти экстремум функции. Срочно! Даю 30 баллов z=5x^2-3y^2+2xy-18x-10y+4

Answer 1

$\\z=5x^2-3y^2+2xy-18x-10y+4\\ \frac{\partial z}{\partial x}=10x+2y-18,\; \; \frac{\partial z}{\partial y}=-6y+2x-10\\ \left\{\begin{matrix} 10x+2y-18=0\\ -6y+2x-10=0 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} x=3y+5\\ 30y+50+2y-18=0 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} x=3y+5\\ 32y=-32 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.$M(2;-1)-критическая точка
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=10,\; \; \; \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-6, \; \; \; \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=2=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\\ H=\begin{pmatrix} 10 &2 \\ 2& -6 \end{pmatrix}\\ \begin{vmatrix} 10 &2 \\ 2& -6 \end{vmatrix}=-6\cdot10-2\cdot2=-64$Если определитель матрицы Гессе>0, то функция z имеет экстремум в точке M, если же определитель<0, то экстремума нет.
Вывод: функция не имеет экстремума в точке M(2;-1)