Question

Дам около 50 баллов!!! Докажите, что (13^n +5) для любого натурального n делится на 6.
8 класс. Не знаю, как решить. Говорят, через индукции. Но их проходят в старшей школе. Помогите, пожалуйста

Answer 1

Докажите, что (13^n +5) для любого натурального n делится на 6

Докажем методом мат.инукции

1)n=1    13¹+5=18=3*6   делится на 6     верно
2) допустим, что верно при n=k
3) докажем, что верно при n=k+1

$13^{k+1} +5=13*13^k+5=13*13^k+65-60=13(13^k+5)-6*10$
первое слагаемое делится на 6 , так как один из множителей делится на 6 по предположению
второе слагаемое делится на 6 , так как один из множителе равен 6

Answer 2

можно обойтись и без индукции.
13^n+5=(12+1)^n+5
рассмотрим (12+1)^n содержит слагаемые, в которые
входит 12 в некоторой степени, что делится на 6.
и плюс 1. но 1+5=6- что тоже делится на 6.
Значит каждое слагаемое делится на 6, следовательно на 6 делится и вся сумма.