Question

Решить задачу Коши методом вариаций произвольных постоянных: y"-3y'+2y=1/2+e^-x; y(0)=1+2ln2; y'(0)=3ln2

Answer 1

$y''-3y'+2y=\frac{1}{2+e^{-x}}\\\lambda^2-3\lambda+2=0\\\lambda_1=1\ ;\lambda_2=2\\y=C_1e^x+C_2e^{2x}\\\begin{cases}C_1'(x)e^x+C_2'(x)e^{2x}=0\\C_1'(x)e^x+2C_2'(x)e^{2x}=\frac{1}{2+e^{-x}}\end{cases}\\W= \left[\begin{array}{cc}e^x&e^{2x}\\e^{x}&2e^{2x}\end{array}\right]=e^{3x}\\W_1=\left[\begin{array}{cc}0&e^{2x}\\\frac{1}{2+e^{-x}}&2e^{2x}\end{array}\right]=-\frac{e^{2x}}{2+e^{-x}}\\W_2=\left[\begin{array}{cc}e^x&0\\e^{x}&\frac{1}{2+e^{-x}}\end{array}\right]=\frac{e^x}{2+e^{-x}}$

$\displaystyle C_1'(x)=\frac{W_1}{W}=-\frac{e^{2x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=-\frac{1}{2e^{x}+1}\\C_1(x)=-\int\frac{dx}{2e^{x}+1}=-\int\frac{(2e^{x}-2e^{x}+1)dx}{2e^x+1}=\\-\int(1-\frac{2e^x}{2e^x+1})dx=ln|2e^x+1|-x+C_1\\\\\\\\C_2'(x)=\frac{W_2}{W}=\frac{e^{x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=\frac{1}{2e^{2x}+e^x}}\\C_2(x)=\int\frac{dx}{e^x(2e^x+1)}=\int(\frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{2e^{x}+1})dx=\\=-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+C_1)e^x+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2)e^{2x}$

$\displaystyle y(0)=1+2ln2\\2+2ln2-3ln3=C_1+C_2\\\\y'=e^x(ln|2e^x+1|-x+C_1)+e^x(\frac{2e^x}{2e^x+1}-1)+\\+2e^{2x}(-e^{-x}+2ln|2e^x+1|-2x+C_2)+\\+e^{2x}(e^{-x}+\frac{4e^x}{2e^x+1}-2)\\\\y'(0)=3ln2\\2+3ln2-5ln3=C_1+2C_2\\\\C_2=ln2-2ln3\\C_1=2+ln2-ln3\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+2+ln2-ln3)e^x+\\+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+ln2-2ln3)e^{2x}$