Question

Помогите, пожалуйста, решить. Подробно.

Answer 1

$(7x-6)\ln(x+a)=(7x-6)\ln(4x-a)$
ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l} x+a\ \textgreater \ 0 \\ 4x-a\ \textgreater \ 0 \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x\ \textgreater \ -a \\ x\ \textgreater \ \frac{a}{4} \end{array}$
$(7x-6)\ln(x+a)=(7x-6)\ln(4x-a) \\\ (7x-6)\ln(x+a)-(7x-6)\ln(4x-a)=0 \\\ (7x-6)\left(\ln(x+a)-\ln(4x-a)\right)=0$
Первый сомножитель приравняем к нулю:
$7x-6=0 \\\ x= \dfrac{6}{7}$
Корень принадлежит заданному промежутку [0; 1]. Остается выяснить, при каких значениях а он удовлетворяет ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{6}{7}\ \textgreater \ -a \\ \dfrac{6}{7}\ \textgreater \ \dfrac{a}{4} \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a\ \textgreater \ -\dfrac{6}{7} \\ a\ \textless \ \dfrac{24}{7} \end{array} \Rightarrow -\dfrac{6}{7}\ \textless \ a\ \textless \ \dfrac{24}{7}$
Второй сомножитель приравняем к нулю:
$\ln(x+a)-\ln(4x-a)=0 \\\ \ln(x+a)=\ln(4x-a) \\\ x+a=4x-a \\\ 3x=2a \\\ x= \dfrac{2a}{3}$
Найдем, при каких а, этот корень, во-первых, удовлетворяет ОДЗ, а во-вторых, принадлежит отрезку [0; 1]:
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2a}{3}\ \textgreater \ -a \\ \dfrac{2a}{3}\ \textgreater \ \dfrac{a}{4} \\ 0 \leq \dfrac{2a}{3} \leq 1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 2a\ \textgreater \ -3a \\ 8a\ \textgreater \ 3a \\ 0 \leq 2a \leq 3 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 5a\ \textgreater \ 0 \\ 5a\ \textgreater \ 0 \\ 0 \leq a \leq \frac{3}{2} \end{array} \Rightarrow 0 \ \textless \ a \leq \frac{3}{2}$
В ответ пойдет значения а, принадлежащие только одному из двух промежутков $-\dfrac{6}{7}\ \textless \ a\ \textless \ \dfrac{24}{7}$ или $0 \ \textless \ a \leq \frac{3}{2}$. Это значения:
$a\in\left(- \dfrac{6}{7} ;0\right]\cup\left( \dfrac{3}{2} ; \dfrac{24}{7} \right)$
Кроме того, нужно добавить те значения а, при которых рассматриваемые корни совпадут:
$\dfrac{2a}{3} = \dfrac{6}{7} \\\ 14a=18 \\ a= \dfrac{9}{7}$
Таким образом:
$a\in\left(- \dfrac{6}{7} ;0\right]\cup \left\{ \dfrac{9}{7} \right\}\left( \dfrac{3}{2} ; \dfrac{24}{7} \right)$
Ответ: $a\in\left(- \dfrac{6}{7} ;0\right]\cup \left\{ \dfrac{9}{7} \right\}\left( \dfrac{3}{2} ; \dfrac{24}{7} \right)$