Question

Решите пожалуйста неравенство БЕЗ метода рационализации

Answer 1

$log_{x-2} \frac{1}{5} \geq log_{ \frac{x-3}{x-5} } \frac{1}{5 }$

ОДЗ:
{x-2>0
{x-2≠1
{(x-3)/(x-5)>0
{(x-3)/(x-5)≠1
{x≠5
x∈(2;3)U(5;+∞)

перейдем к основанию 5

$\frac{ log_{5} \frac{1}{5} }{ log_{5}(x-2) } \geq \frac{ log_{5} \frac{1}{5}}{ log_{5} \frac{x-3}{x-5} } \\ \\ log_{5}(x-2) \geq log_{5} \frac{x-3}{x-5} \\ \\ 5\ \textgreater \ 1$
знак сохраняем
$x-2 \geq \frac{x-3}{x-5} \\ \\ \frac{(x-2)(x-5)-x-3}{x-5} \geq 0 \\ \\ \frac{x^2-8x+13}{x-5} \geq 0$
D=64-4*13=64-52=12=4*3
x₁=4+√3
x₂=4-√3

решаем методом интервалов

-------[4-√3]++++++(5)---------[4+√3]+++++++

x∈[4-√3;5)U[4+√3;+∞)

с учетом ОДЗ, получаем ответ

x∈[4-√3;3)U[4+√3;+∞)