Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке:
$f(x)=0,25x^4-2x^2+1$
[-1;3]

Answer 1

Возьмем производную, получим:
f'(x) = x^3-4x
x^3-4x=0
x(x^2-4)=0
x=0     x^2-4=0
          x^2=4
          x = 2, x = -2

Рассмотрим, как ведет себя производная в окрестности этих точек
При x<-2 f'(x) < 0 => f(x) убывает
При -2<x<0 f'(x) > 0 => f(x) возрастает
При 0<x<2 f'(x) < 0 => f(x) убывает
При x>2 f'(x) > 0 => f(x) возрастает

Теперь рассмотрим промежуток [-1;3]
x = 0 - точка локального максимума ,
при x>2 f(x) возрастает, т.е.
f(x) принимает свое наибольшее значение или в точке x = 0 или в точке x = 3
При x>2 f'(x) > 0 => f(x) возрастает, 
x = 2 - точка локального минимума на промежутке [-1;3] => своего наименьшего значения f(x) достигает именно в этой точке

Найдем значения:
f(0) = 1
f(3) = 0,25 * 81 - 18 + 1 = 20,25 - 17 = 3,25
f(3) > f(0) => f(3) = 3,25 - наибольшее значение функции на промежутке [-1;3]
f(2) = 0,25 * 16 - 8 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 - наименьшее значение функции на промежутке [-1;3]