Question

Сколько нулей в произведении 1*2*3*...*105

Answer 1

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot 105=105!$

Подсчитаем сколько раз приходится число 2 в факториал 105

$[\frac{105}{2}]+[\frac{105}{4}]+[\frac{105}{8}]+[\frac{105}{16}]+[\frac{105}{32}]+[\frac{105}{64}]=52+26+13+6+3+1=101$

В разложении на простые множители числа 100! двойка встречается ровно 101 раз.

Теперь подсчитаем сколько раз приходится число 5 в факториал 105

$[\frac{105}{5}]+[\frac{105}{25}]=21+4=25$

Число 5 встречается ровно 25 раз.

Значит, $100!=2^{101}\cdot 5^{25}\cdot A=10^{25}\cdot 2^{76}\cdot A$, где А - некоторый множитель. И как видим, данное произведение оканчивается 25 нулями.

Ответ: 25 нулями.