Question

Пожалуйста, помогите с вышматом.

Answer 1

Точки пересечения  y=x²  и  х=у²  :

$y=x^2=(y^2)^2=y^4\; ,\; \; y^4-y=0\; ,\; \; y(y^3-1)=0\; \; \to \\\\y_1=0\; ,\; \; y_2=1\; \; \Rightarrow \; \; x_1=0\; ,\; x_2=1\\\\\iint \limits _{D}xy\, dx\, dy=\int \limits _0^1\, x\, dx\int \limits ^{\sqrt{x}}_{x^2}\, y\, dy= \int\limits^1_0 {x} \, dx \Big (\frac{y^2}{2} \Big |_{x^2}^{\sqrt{x}}\Big )=\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^1_0 \, x(x-x^4)\, dx=\frac{1}{2} \int\limits^1_0 (x^2-x^5) \, dx=\frac{1}{2} (\frac{x^3}{3}-\frac{x^6}{6})\Big |_0^1=\\\\=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})=\frac{1}{12}$